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Sensors & Time Series

Forecasting시계열 예측

건물의 냉난방 에너지는 바깥 기온을 크게 따라갑니다. 한 해 동안 1시간마다 잰 실제 기온 기록으로, 다음 몇 시간의 기온을 맞히는 방법을 가장 단순한 것부터 학습 모델까지 견줘 봅니다.

분해

시계열은 흔히 추세 + 계절 무늬 + 나머지로 읽습니다. 시간별 기온에서 뚜렷한 계절은 하루입니다. 오후에 덥고 밤에 서늘합니다. 고전적 분해는 가운데 24시간 이동 평균을 추세로 삼고, 남은 것을 시각별로 평균해 하루 무늬를 얻고, 그 나머지를 나머지로 둡니다. 자기상관 함수(ACF)는 k시간 전의 자기 자신과 얼마나 닮았는지 보여 줍니다.

자료: 미국 노스캐롤라이나 그린즈버러의 전형 기상년(TMY3). 달마다 서로 다른 해의 실제 시간별 관측 한 달을 골라 이어 붙였습니다(예: 1월은 1988년, 2월은 1996년). 그래서 달이 바뀌는 곳에서 값이 튈 수 있습니다. 1월은 파일 안에 그 전 기록이 없어 예측 탭에서 뺐습니다.

xt = Tt + St + Rt  ·  Tt = MA2×24(x)t  ·  ρ(k) = Σ(xt−x̄)(xt+k−x̄) / Σ(xt−x̄)²

체험: 달 고르기

요약하루 주기는 ACF에서 24·48·72시간의 봉우리로 나타납니다.여기서 추세는 날씨입니다. 며칠씩 이어지는 더위와 추위이고, 하루 무늬로는 맞힐 수 없습니다.부분마다 분산이 얼마인지가 어떤 모델이 도움이 될지 알려 줍니다.

기호표

기호뜻단위
xtt시의 기온°C
T, S, R추세, 계절(하루) 성분, 나머지°C
ρ(k)k시간 차 자기상관—

참고문헌

  1. Hyndman, R.J., Athanasopoulos, G. (2021). Forecasting: Principles and Practice (3rd ed.). OTexts.
  2. Wilcox, S., Marion, W. (2008). Users Manual for TMY3 Data Sets. NREL/TP-581-43156.
  3. Holmgren, W.F., Hansen, C.W., Mikofski, M.A. (2018). pvlib python: a python package for modeling solar energy systems. Journal of Open Source Software 3(29).

기준선

어떤 모델보다 먼저, 학습이 필요 없는 예측으로 기준을 세웁니다. Naive는 마지막 값을 그대로 씁니다. Seasonal naive는 어제 같은 시각의 값을 씁니다. 이동 평균은 지난 w시간의 평균을 씁니다. 이것들을 이기지 못하는 모델은 복잡할 이유가 없습니다.

체험: 예측 한 번

이 달의 모든 날

그 달 매일 00시에 예측하고, 몇 시간 앞마다 평균 절대 오차(MAE)를 냅니다.

요약한 시간 앞은 마지막 값을 이기기 아주 어렵습니다. 기온은 천천히 변합니다.24시간 앞에서는 naive와 seasonal naive가 같은 예측이 됩니다.모델은 늘 이 기준선과 나란히 보고합니다.

참고문헌

  1. Hyndman, R.J., Athanasopoulos, G. (2021). Forecasting: Principles and Practice (3rd ed.), §5.2 Some simple forecasting methods. OTexts.

지수 평활과 ARIMA

Holt-Winters는 수준(level), 추세(trend), 시각별 계절 보정값 24개를 들고 다니며, 새 값이 올 때마다 각자의 비율 α, β, γ만큼 그쪽으로 옮깁니다. ARIMA 계열은 값이 앞의 값에 어떻게 기대는지를 모델로 삼습니다. 여기서는 먼저 24시간 차분(오늘 − 어제 같은 시각)을 하고, 차수 p의 자기회귀를 최소제곱으로 맞춥니다: SARIMA(p,0,0)(0,1,0)₂₄.

ℓt = α(xt−st−24) + (1−α)(ℓt−1+bt−1) · bt = β(ℓt−ℓt−1) + (1−β)bt−1 · st = γ(xt−ℓt−1−bt−1) + (1−γ)st−24
yt = xt − xt−24 · yt = c + φ1yt−1 + … + φpyt−p + et

체험: 비율 맞추기, 차수 고르기

요약α가 크면 최근 값을 바짝 따라가고, 작으면 잡음을 고르게 폅니다.한 시간 앞 오차로 맞춘 비율이 24시간 앞에서도 가장 좋다는 보장은 없습니다.24시간 차분은 하루 무늬를 지워서 짧은 AR 모델이 남은 것을 설명하게 합니다.

참고문헌

  1. Winters, P.R. (1960). Forecasting sales by exponentially weighted moving averages. Management Science 6(3).
  2. Box, G.E.P., Jenkins, G.M., Reinsel, G.C., Ljung, G.M. (2015). Time Series Analysis: Forecasting and Control (5th ed.). Wiley.
  3. Hyndman, R.J., Athanasopoulos, G. (2021). Forecasting: Principles and Practice (3rd ed.), chapters 8–9. OTexts.

학습 모델 예측

예측은 회귀 문제로 바꿀 수 있습니다. 과거로 만든 특징, 여기서는 지난 L시간의 값, 24시간 전 값, 하루 중 시각(sin·cos)으로 다음 한 시간을 맞힙니다. Ridge 회귀는 가중치를 작게 묶는 벌점 λ가 붙은 선형 모델이고, 작은 신경망은 관계를 굽힐 수 있습니다. 여러 시간 앞을 예측할 때는 예측값을 관측값처럼 다시 넣으므로(재귀 예측) 오차가 쌓입니다.

체험: 특징 · 벌점 · 모델

표준화한 특징에 붙은 ridge 가중치

요약입력이 지난 기온뿐이면, 학습 모델도 몇 시간 너머에서는 좋은 기준선보다 크게 낫지 않습니다.재귀 예측은 오차가 쌓이고, 유연한 모델일수록 제 출력을 받아 멀리 벗어날 수 있습니다.실제 개선은 더 큰 모델보다 새 정보(예: 일기 예보)에서 옵니다.

참고문헌

  1. Hoerl, A.E., Kennard, R.W. (1970). Ridge regression: biased estimation for nonorthogonal problems. Technometrics 12(1).
  2. Taieb, S.B., Bontempi, G., Atiya, A.F., Sorjamaa, A. (2012). A review and comparison of strategies for multi-step ahead time series forecasting. Expert Systems with Applications 39(8).

평가

예측은 보지 못한 데이터로, 시간 순서대로 평가합니다. Rolling origin 평가는 여러 시점에서 그때까지의 과거만으로 예측하고, 몇 시간 앞인지별로 오차를 평균합니다. 오차 지표도 서로 다릅니다. MAPE는 실제 값으로 나누므로 기온이 0 °C 근처면 터집니다. 시계열 행을 무작위로 섞어 학습·시험으로 나누면, 모델이 시험 시각 바로 옆 시간에서 배우게 되어 점수가 부풀려집니다.

체험: 한 달 rolling origin

체험: 무작위 분할과 시간 순 분할

직접 모델이 같은 특징(ridge, L = 6)으로 24시간 뒤 기온을 맞힙니다. 한 해 전체에서 행의 80%로 학습하고 20%로 시험하되, 나누는 방법을 두 가지로 합니다.

요약시간 순서로 평가하고, 몇 시간 앞인지별로 오차를 보고합니다.데이터 단위의 MAE·RMSE를 쓰고, 값이 0을 지나가면 MAPE는 피합니다.무작위 분할은 시계열 모델을 실제보다 좋아 보이게 합니다.

참고문헌

  1. Tashman, L.J. (2000). Out-of-sample tests of forecasting accuracy: an analysis and review. International Journal of Forecasting 16(4).
  2. Hyndman, R.J., Koehler, A.B. (2006). Another look at measures of forecast accuracy. International Journal of Forecasting 22(4).
  3. Bergmeir, C., Benítez, J.M. (2012). On the use of cross-validation for time series predictor evaluation. Information Sciences 191.

교육용 페이지입니다. 예측은 방법을 비교하려는 것이며 일기 예보가 아닙니다. 오차는 이 자료 한 곳·한 해에 대한 값입니다.